Hai Đường Thẳng Song Song Lớp 11

Với phương pháp giải các dạng toán về hai đường thẳng song song trong không gian môn Toán lớp 11 Hình học tập gồm phương pháp giải đưa ra tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phương pháp làm bài xích tập các dạng toán về hai tuyến phố thẳng tuy vậy song trong không khí lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Hai đường thẳng song song trong không khí và giải pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

I. Triết lý ngắn gọn

1. Vị trí kha khá giữa hai tuyến phố thẳng trong ko gian

- hai tuyến đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng bên trong một mặt phẳng.

Bạn đang xem: Hai đường thẳng song song lớp 11

- hai đường thẳng call là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. Hai đường thẳng chéo cánh nhau thì không tồn tại điểm chung.

*

- hai tuyến phố thẳng điện thoại tư vấn là cắt nhau nếu bọn chúng đồng phẳng và tất cả một điểm chung.

*

- hai tuyến phố thẳng hotline là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

*

- Như vậy, trong ko gian, bao gồm 4 vị trí tương đối của hai đường thẳng, đó là: tuy vậy song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau.

- Khi nhắc đến hai đường thẳng phân biệt, thì ta đọc là có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng kia (bỏ đi trường hợp trùng nhau).

2. Hai tuyến phố thẳng song song

a. đặc điểm của hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong ko gian, sang 1 điểm nằm không tính một mặt đường thẳng bao gồm một và duy nhất đường thẳng tuy nhiên song với đường thẳng đó.

*

Tính hóa học 2: hai tuyến đường thẳng phân biệt cùng song song cùng với một mặt đường thẳng thứ ba thì tuy vậy song cùng với nhau.

*

b. Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu tía mặt phẳng song một cắt nhau theo bố giao tuyến riêng biệt thì cha giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc song một song song.

Giả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng song một giảm nhau theo cha giao tuyến phân minh a, b, c, vào đó: a=(P)∩(R), b=(Q)∩(R), c=(P)∩(Q). Khi đó:

TH1: a, b, c đồng quy

*

TH2: a // b // c

*

c. Hệ quả (Định lý về giao đường của bố mặt phẳng)

Nếu nhị mặt phẳng biệt lập lần lượt chứa hai tuyến đường thẳng song song thì giao tuyến đường (nếu có) của hai mặt phẳng nói bên trên sẽ song song với hai tuyến phố thẳng đó hoặc trùng với 1 trong các hai mặt đường thẳng đó.

*
*
*

II. Các dạng bài bác tập về hai tuyến phố thẳng song song trong không gian

Dạng 1: minh chứng hai đường thẳng song song

Phương pháp giải: Sử dụng một trong số cách sau

- chứng minh hai mặt đường thẳng kia đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh tuy nhiên song vào hình học phẳng.

- chứng minh hai con đường thẳng kia cùng song song cùng với một con đường thẳng sản phẩm ba.

- Áp dụng định lí về giao tuyến tuy vậy song.

- Áp dụng hệ quả: nếu hai phương diện phẳng tách biệt lần lượt chứa hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song thì giao đường của bọn chúng (nếu có) cũng song song với hai tuyến đường thẳng kia hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với lòng AD với BC. Biết AD = a, BC = b. điện thoại tư vấn I, J theo lần lượt là trọng tâm tam giác SAD với SBC. Mặt phẳng (ADJ) giảm SB, SC theo thứ tự tại M, N. Khía cạnh phẳng (BCI) giảm SA, SD tại P, Q. Minh chứng MN // PQ.

*

Lời giải:

Ta có:I∈(SAD)⇒I∈(SAD)∩(IBC)

Lại cóAD⊂(SAD)BC⊂(IBC)AD//BC

Do kia giao đường của hai mặt phẳng (SAD) cùng (IBC) là con đường thẳng qua I và tuy vậy song với AD, BC.

Khi đó trong (SAD), qua I kẻ con đường thẳng song song với AD, giảm SA tại p và giảm SD tại Q.

⇒(SAD)∩(IBC)=PQ

⇒PQ//AD//BC(1)

Chứng minh tương tự:

J∈(SBC)⇒J∈(SBC)∩(ADJ)AD⊂(ADJ)BC⊂(SBC)AD//BC(SBC)∩(ADJ)=MN

⇒MN//AD//BC(2)

Do đó, từ bỏ (1) cùng (2) suy ra: MN // PQ.

Ví dụ 2: mang lại hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cùng với đáy to AB. Call M, N là trung điểm SA với SB.

Xem thêm: Key Bản Quyền Avast Free Antivirus 2016, Key Avast Premium Security

a. Minh chứng MN // CD.

b. Gọi phường là giao điểm của SC cùng (ADN), I là giao điểm của AN và DP. Chứng tỏ SI // CD.

*

Lời giải:

a. Ta tất cả MN là mặt đường trung bình của tam giác SAB đề nghị MN // AB

Lại có ABCD là hình thang đề nghị AB // CD

Do đó: MN // CD.

b. Trong mặt phẳng (ABCD), điện thoại tư vấn E là giao điểm của AD cùng BC

Trong mặt phẳng (SCD), gọi p là giao điểm của SC với DI

Ta có:E∈AD⊂(ADN)

⇒EN⊂(ADN)⇒P∈(ADN)

VậyP=SC∩(ADN)

DoI=AN∩DP

⇒I∈ANI∈DP⇒I∈(SAB)I∈(SCD)⇒SI=(SAB)∩(SCD)

Ta có:

AB⊂(SAB)CD⊂(SCD)AB//CD(SAB)∩(SCD)=SI⇒SI//CD

Dạng 2: chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

a. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai tuyến phố thẳng a, b lần lượt trải qua hai trong tư điểm trên và minh chứng a, b song song hoặc giảm nhau. Khi đó A, B, C, D thuộc khía cạnh phẳng (a, b).

b. Chứng tỏ ba con đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải:

- phương pháp 1: minh chứng đường thẳng trước tiên đi qua giao điểm của hai tuyến đường thẳng còn lại.

- bí quyết 2: minh chứng ba mặt đường thẳng song một giảm nhau và chúng đôi một ở trong bố mặt phẳng phân biệt

Bước 1: Xác địnhd1,d2⊂(P),d1∩d2=I1d2,d3⊂(Q),d2∩d3=I2d3,d1⊂(R),d3∩d1=I3 cùng với (P), (Q), (R) phân biệt

Bước 2: Kết luậnd1,d2,d3 đồng quy trên I≡I1≡I2≡I3

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là một trong những tứ giác lồi. Hotline M, N, E, F thứu tự là trung điểm của các lân cận SA, SB, SC, SD. Gọi J là giao điểm của AC và BD.

a. Chứng tỏ ME, NF, SJ đồng quy.

b. Minh chứng M, N, E, F đồng phẳng.

*

Lời giải:

a.Trong (SAC) call I là giao điểm của ME với SJ.

Ta có: ME là con đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC

Suy ra ngươi // AC, cơ mà M là trung điểm của SA

Nên I là trung điểm của SJ.

Suy ra: FI là đường trung bình của tam giác SJD

Suy ra FI // JD

Tương tự có: NI // JB đề nghị N, I, F thẳng hàng

Vậy ME, NF, SJ đồng quy trên I.

b. Vày I là giao điểm của ME với NF yêu cầu ME cùng NF xác minh một mặt phẳng

Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng.

Ví dụ 4: mang đến chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật. điện thoại tư vấn M, N, E, F theo thứ tự là trọng tâm những tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh:

a. Tứ điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b. ME, NF, SO đồng quy cùng với O là trung ương hình chữ nhật ABCD.

*

Lời giải:

a. điện thoại tư vấn M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Ta có:

SMSM"=23;SNSN"​​​=23​​​(tính chất giữa trung tâm tam giác)

⇒SMSM"=SNSN"​​​

⇒MN//M"N"​​​(Định lý Ta – lét)

Tương tự:SESE"=SFSF"

⇒EF//E"F" (Định lý Ta – lét)

Lại có: M"N"https://ACE"F"https://AC(tính chất đường trung bình)

⇒M"N"https://E"F"

Do đó: MN // EF.

Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b. Gọi I là giao điểm của ME và NF

Dễ thấy M’N’E’F’ là hình bình hành với O là giao điểm của M’E’ với N’F’

Xét cha mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’), (MNEF) có

(M"SE")∩(N"SF")=SO(M"SE")∩(MNEF)=ME(N"SF")∩(MNEF)=NFME∩NF=I

Do đó theo định lý về giao con đường của tía mặt phẳng thì bố đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I.

III. Bài tập áp dụng

1. Từ luận

Bài 1: mang đến tứ diện ABCD. Call M, N, P, Q, R, S thứu tự là trung điểm của những cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD. Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng.

Bài 2: mang lại hình chóp S.ABC. Call E, F theo lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC cùng SAB. Chứng minh EF // AC.

2. Trắc nghiệm

Bài 1: mang đến tứ diện ABCD. G là giữa trung tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MG // CN

B. MG cùng CN cắt nhau

C. MG // AB

D. MG với CN chéo nhau

Bài 2: đưa sử có bố đường thẳng a, b, c trong các số ấy b // a với c // a. Hầu hết phát biểu làm sao sau đây là sai?

(1) nếu như mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b với c chéo nhau

(2) nếu mặt phẳng (a, b) trùng với phương diện phẳng (a, c) thì bố đường thẳng a, b, c song song cùng nhau từng đôi một

(3) dù rằng hai khía cạnh phẳng (a, b) cùng (a, c) có trùng nhau xuất xắc không, ta vẫn có b // c

A. Chỉ gồm (1) sai

B. Chỉ tất cả (2) sai

C. Chỉ bao gồm (3) sai

D. (1), (2) và (3) hầu hết sai

Bài 3: mang lại tứ diện ABCD. Hotline M, N, P, Q theo lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. MN // BD và 2MN = BD

B. MN // PQ và MN = PQ

C. MNPQ là hình bình hành

D. MP và NQ chéo cánh nhau

Bài 4: đến hình chóp S.ABCD. điện thoại tư vấn A’, B’, C’, D’ theo lần lượt là trung điểm của những cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng làm sao không tuy nhiên song cùng với A’B’?

A. AB

B. CD

C. SC

D. C’D’

Bài 5: trong số mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo cánh nhau khi chúng không có điểm chung

B. Hai tuyến phố thẳng không tồn tại điểm bình thường là hai đường thẳng tuy nhiên song hoặc chéo cánh nhau

C. Hai tuyến đường thẳng tuy vậy song nhau khi chúng ở trên và một mặt phẳng

D. Khi hai đường thẳng sinh sống trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo cánh nhau

Bài 6: cho tứ diện ABCD. Hotline I, J theo vật dụng tự là trung điểm của AD với AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến đường của hai mặt phẳng (GIJ) với (BCD) là mặt đường thẳng:

A. Qua I và tuy nhiên song cùng với AB

B. Qua J và song song với BD

C. Qua G và tuy vậy song cùng với CD

D. Qua G và tuy nhiên song cùng với BC

Bài 7: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình thang với những cạnh đáy AB cùng CD. Call I, J theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AD và BC và G là giữa trung tâm của tam giác SAB. Tra cứu giao tuyến hai phương diện phẳng (SAB) với (IJG):

A. Là đường thẳng tuy vậy song với AB

B. Là con đường thẳng tuy nhiên song cùng với CD

C. Là đường thẳng song song với mặt đường trung bình của hình thang ABCD

D. Cả A, B, C đều đúng

Bài 8: mang lại hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình bình hành. Tra cứu giao đường của nhì mặt phẳng (SAB) và (SCD):